题目链接：Codeforces 1139F
有 $m$ 个人居住在一个城市里，在这个城市里总共出售 $n$ 道菜。第 $i$ 道菜的价格为 $p_i$、标准值 $s_i$、美味值 $b_i$。第 $j$ 人的收入为 $inc_j$、首选的美味值 $pref_j$。
第 $j$ 个人会买第 $i$ 道菜当且仅当 $p_i \le inc_j \le s_i$ 且 $\vert b_i - pref_j \vert \le (inc_j - p_i)$。
请求出每个人会买多少道菜。
数据范围：$1 \le n, m \le 10 ^ 5$，$1 \le p_i, s_i, b_i, inc_i, pref_i \le 10 ^ 9$。
Solution
首先我们把绝对值去掉，得到如下限制条件：
$$ \begin{cases} p_i \le inc_j \le s_i \\ b_i - pref_j \le inc_j - p_i \\ pref_j - b_i \le inc_j - p_i \\ \end{cases} $$
经过简单转化得到：
$$ \begin{cases} p_i \le inc_j \le s_i \\ inc_j + pref_j \ge b_i + p_i \\ pref_j - inc_j \le b_i - p_i \\ \end{cases} $$
我们把 $(inc_j, pref_j)$ 看做二维平面上的一个点，那么相当于点 $(inc_j, pref_j)$ 需要位于下图所示的三角形内（包含边界）：
那我们只需要计算每个点 $(inc_j, pref_j)$ 在多少个三角形内。
考虑扫描线，我们将所有修改和询问按照 $x$ 坐标递增的顺序排序。当扫描到 $x = p_i$ 时，我们将第 $i$ 个三角形的贡献加入；当扫描到 $x = s_i + 1$ 时，我们将第 $i$ 个三角形的贡献删除。
观察贡献的形式：直线 $x + y = b_i + p_i$ 的上方；直线 $y - x = b_i - p_i$ 的下方。可以使用差分解决，贡献转化为：
- 在直线 $x + y = b_i + p_i$ 上加上 $1$ 的贡献。
- 在直线 $y - x = b_i - p_i + 1$ 上加上 $-1$ 的贡献。
消除贡献时同理。我们可以使用两个树状数组 $A, B$ 来分别记录 $x + y$ 和 $y - x$ 的贡献。
询问第 $j$ 个人时，我们只需要查询 $A$ 中 $inc_j + pref_j$ 的前缀和、$B$ 中 $pref_j - inc_j$ 的前缀和，将两个前缀和相加就是答案。
时间复杂度：$\mathcal O((n + m)\log (n +m))$。
Code
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
const int N = 4e5 + 5;
int n, m, p[N], s[N], b[N], inc[N], pre[N], ans[N];
struct Data {
int p, x, y, opt, id;
Data(int _p, int _x, int _y, int _opt, int _id) {
p = _p, x = _x, y = _y, opt = _opt, id = _id;
}
bool operator<(const Data &b) const {
return p == b.p ? id < b.id : p < b.p;
}
};
struct BIT {
int n, b[N];
void modify(int x, int v) {
for (; x <= n; x += x & -x) b[x] += v;
}
int query(int x) {
int ans = 0;
for (; x; x ^= x & -x) ans += b[x];
return ans;
}
} b1, b2;
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &p[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &s[i]);
for (int i = 1; i <= n; i++) scanf("%d", &b[i]);
for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &inc[i]);
for (int i = 1; i <= m; i++) scanf("%d", &pre[i]);
std::vector<int> v;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
v.push_back(b[i] + p[i]);
v.push_back(b[i] - p[i] + 1);
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
v.push_back(inc[i] + pre[i]);
v.push_back(pre[i] - inc[i]);
}
std::sort(v.begin(), v.end());
v.erase(std::unique(v.begin(), v.end()), v.end());
b1.n = b2.n = v.size();
std::vector<Data> q;
for (int i = 1; i <= n; i++) {
q.push_back(Data(p[i], p[i], b[i], 1, 0));
q.push_back(Data(s[i] + 1, p[i], b[i], -1, 0));
}
for (int i = 1; i <= m; i++) {
q.push_back(Data(inc[i], inc[i], pre[i], 0, i));
}
std::sort(q.begin(), q.end());
for (Data t: q) {
if (t.opt) {
int x = std::lower_bound(v.begin(), v.end(), t.x + t.y) - v.begin() + 1;
int y = std::lower_bound(v.begin(), v.end(), t.y - t.x + 1) - v.begin() + 1;
b1.modify(x, t.opt), b2.modify(y, -t.opt);
} else {
int x = std::lower_bound(v.begin(), v.end(), t.x + t.y) - v.begin() + 1;
int y = std::lower_bound(v.begin(), v.end(), t.y - t.x) - v.begin() + 1;
ans[t.id] = b1.query(x) + b2.query(y);
}
}
for (int i = 1; i <= m; i++) printf("%d%c", ans[i], " \n"[i == m]);
return 0;
}